ד. מספרים ממשיים (למתעניינים)

עמוד:253

דיון 23 לפניכם ההוכחה לטענה : 2 איננו מספר רציונלי . קראו ונסו לנמק כל שלב בהוכחה . 1 נניח שהטענה איננה נכונה , והמספר 2 הוא מספר רציונלי , כלומר קיימים מספרים שלמים n–ו m כך ש– . 2 = m נניח גם שהשבר m מצומצם כמה שאפשר , כלומר למספרים n n השלמים n–ו m אין גורם משותף . m 2 2 מההנחה ( בשלב ( 1 אפשר להסיק : 2 = n 2 3 משלב 2 אפשר להסיק : 2 n = m 4 משלב 3 נובע : m הוא מספר זוגי . 5 אם m הוא מספר זוגי אז גם m הוא מספר זוגי . 6 אם m הוא מספר זוגי , אז m מתחלק . 4–ב 7 משלב 3 אפשר להסיק : n = m 2 2 8 משלבים 6 ו– 7 אפשר להסיק ש– n הוא מספר זוגי . 9 אם n מספר זוגי אז גם n הוא מספר זוגי . 10 אם גם m מספר זוגי ( שלב ( 5 וגם n מספר זוגי ( שלב , ( 9 m אז אפשר לצמצם עוד את השבר . ( 2–ב ) n שלב 10 סותר את ההנחה שהשבר צומצם כמה שאפשר ( שלב . ( 1 מסקנה : ההנחה 2–ש הוא מספר רציונלי אינה נכונה , כלומר 2 אינו מספר רציונלי . 24 סמנו על ציר–מספרים את המספר 3 והוכיחו כי הוא אינו רציונלי . מספר שאינו רציונלי נקרא מספר אי–רציונלי . מספר אי–רציונלי הוא מספר שלא ניתן לייצג אותו כמנה של שני מספרים שלמים . למעשה , מספרים אי–רציונליים נחשבים משונים עד היום , מפני שלא ניתן לכתוב אותם כשבר עשרוני סופי ואפילו לא כשבר עשרוני מחזורי , אלא רק כשבר עשרוני אינסופי המהווה רצף של ספרות בלא סדירות ובלא תבנית קבועה החוזרת על עצמה . כלומר , לעולם לא נוכל לכתוב מספר אי–רציונלי בצורה מפורשת - נוכל לכתוב רק קירוב של המספר ! לדוגמה , אם ננסה לבטא את 2 כמספר עשרוני , נקבל : 1 . 414213562 ... ( בדקו במחשבון . ( קבוצת המספרים הממשייים כוללת את המספרים הרציונליים ואת המספרים האי–רציונליים .

קודם  |  הבא