כיצד מחשב המחשב את ערכי פונקצית הסינוס?

עמוד:166

כיצד מחשב המחשב את ערכי פונקצית הסינוס ! למרות שפונקצית הסינוס מוצגת על ידי ביטוי מתמטי מפורש f ( x ) = sin \ אי אפשר לחשב את ערכי הפונקציה מתוך ביטוי זה על ידי פעולות חיבור , חיסור , כפל או חילוק , כפי שאפשר לחשב 2 x -1 3 למשל את ערכי הפונקציה f ( x ) = x - 2 x + 5 או . f ( x ) = - - למדנו בפרקים הקודמים כי x + 3 ניתן לחשב במדויק את ערכי הפונקציה sin \ במספר נקודות מיוחדות כמו \ = 0 , — , — , — , — 2 6 4 3 ומהן להסיק על ערכים נוספים . כמו כן אפשר להראות בעזרת זהויות כי אם יודעים את הערך של sin x עבור * מסוים כי אז אפשר לחשב את : sin 4 x , sin 3 x , sin 2 x וכן Di sin — x ' על ידי נוסחת נסיגה . אולם את מרבית ערכי הפונקציה אי אפשר לחשב במדויק . ( שימו לב , גם את רוב ערכי הפונקציה f ( x ) - ? Jx אי אפשר לחשב על ידי פעולות חשבון בסיסיות ( . אם כן כיצד מחשב המחשב או המחשבון \ את sin או את cos x לכל ערך \ של , באופן מדויק כל כך ובמהירות כה רבה ? במחשב או במחשבון מאוחסנות דרך קבע תוכניות של פונקציות 'פנימיות' המחשבות ביעילות רבה ( במהירות ובדיוק רב ) את הערכים של פונקציות רבות . תוכניות אלה מאוחסנות בספרייה הפנימית של המחשב ונקראות 'פונקציות . 'ספרייה בכל פעם שהמשתמש במחשב או במחשבון זקוק לערך של פונקציה מסוימת הן מופעלות . הפונקציות הטריגונומטריות הן חלק מפונקציות הספרייה של המחשב . חשוב להעיר שקיימות מספר תוכניות לחישוב הפונקציות הטריגונומטריות ובכל תוכנת מחשב יש תוכנית המתאימה לצורכי המשתמשים בתוכנה . אחת השיטות שבהן מחשבים את ערכי הפונקציה f ( x ) = sin x או g ( x ) = cos * ( או כל פונקציה מסובכת לחישוב ) היא באמצעות קירוב על ידי פונקציות פשוטות יותר כמו פולינומים . בונים פולינום שערכיו קרובים מאד לערכי הפונקציה ( ואף מתלכדים בחלק מהנקודות , ( ובמקום לחשב את ערך הפונקציה מחשבים את ערך הפולינום . נוח לבחור בפולינומיס בפונקציות קירוב כי החישובים באמצעותם הם מהירים ופשוטים וכוללים רק את ארבע פעולות החשבון הבסיסיות . פולינום המשמש לקירוב ערכי הפונקציה נקרא פולינום קירוב . חשוב לציין כי אפשר לבנות פולינום קירוב רק בקטע סופי . הדבר ברור כשעוסקים בפונקצית הסינוס או הקוסינוס , שהרי הן מחזוריות ואילו פולינום איננו פונקציה מחזורית . אולם אם מתבוננים בקטע סגור חלקי של הגרף אפשר להעלות את ההשערה שהוא דומה או קרוב לחלק מגרף של פולינום . לדוגמה , אם מתבוננים בגרף של sin \ בתחום [ -2 , 2 ]

קודם  |  הבא